例 3.55

依赖于

• 例 3.54
• 例 3.8

被以下题目直接调用

• 无

例 3.55

设 $V_1,V_2,\cdots ,V_m$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上向量空间 $V$ 的 $m$ 个真子空间，证明：$V$ 中必有一组基，使得每个基向量都不在诸 $V_i$ 的并中。

解答

证明 由例 3.54 可知，存在非零向量 $e_1\in V$，使得 $e_1\notin \bigcup _{i=1}^m{V}_i$。定义 $V_{m+1}=L(e_1)$，再由例 3.54 可知，存在向量 $e_2\in V$，使得 $e_2\notin \bigcup _{i=1}^{m+1}{V}_i$。由例 3.8 可知， $e_2\notin L(e_1)$ 意味着 $e_1,e_2$ 线性无关。重新定义 $V_{m+1}=L(e_1,e_2)$，再由例 3.54 可知，存在向量 $e_3\in V$，使得 $e_3\notin \bigcup _{i=1}^{m+1}{V}_i$。再由例 3.8 可知， $e_3\notin L(e_1,e_2)$ 意味着 $e_1,e_2,e_3$ 线性无关。不断重复上述讨论，即添加线性无关的向量重新定义 $V_{m+1}$，并反复利用例 3.54 和例 3.8 的结论，最后可以得到 $n$ 个线性无关的向量 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$，它们构成 $V$ 的一组基，且满足 $e_j\notin \bigcup _{i=1}^m{V}_i(1\le j\le n)$。 利用“几何问题代数化”这一技巧，我们可以给出上述两道例题的一个统一证法。