例 6.103

依赖于

• 例 4.16
• 例 6.99
• 例 6.102
• 第 4 章解答题 13
• 第 6 章解答题 13

被以下题目直接调用

• 无

例 6.103

设 $A,B$ 分别为 $m,n$ 阶矩阵，$V$ 为 $m\times n$ 矩阵全体构成的线性空间， $V$ 上的线性变换 $\phi$ 定义为：$\phi (X)=AXB$。证明： $\phi$ 是线性自同构的充要条件是 $A,B$ 都是可逆矩阵。

解答

证明 例 4.16 作为本题的特例，我们已经给出了两种证法，其中证法 1 仍然可以适用于本题， 证法 2 则需改用例 6.99 进行讨论，当然也可用第 4 章解答题 13 进行统一的处理， 请读者自行补充细节。下面再给出两种证法：

证法 3 由例 6.102 的证明过程可知，$\phi$ 在基础矩阵这组基下的表示矩阵为 $A\otimes B^{\prime }$，再由性质 (8) 可知 $|A\otimes B^{\prime }|=|A{|}^n|B{|}^m$，故 $\phi$ 是自同构 当且仅当表示矩阵 $A\otimes B^{\prime }$ 是可逆阵，这也当且仅当 $A,B$ 都是可逆矩阵。

证法 4 由例 6.102 可知，$\phi$ 是自同构当且仅当 $\phi$ 所有的特征值 ${\lambda }_i{\mu }_j\ne 0$，这当且仅当所有的 ${\lambda }_i\ne 0$ 以及所有的 ${\mu }_j\ne 0$， 这也当且仅当 $A,B$ 都是可逆矩阵。$\square$