例 6.99

依赖于

例 6.99

设 $A, B$ 分别为 $m \times n, k \times l$ 矩阵，求证：
$r (A \otimes B) = r (A) \cdot r (B) .$

证明设 $r (A) = r, r (B) = s$ ， $P, Q, R, S$ 为可逆矩阵，使得

P A Q = (I_{r} O O O), R B S = (I_{s} O O O),

则由性质 (7) 可知 $P \otimes R, Q \otimes S$ 均非异，再由性质 (3) 可得

(P \otimes R) (A \otimes B) (Q \otimes S) = (P A Q) \otimes (R B S) \sim (I_{r s} O O O),

于是 $r (A \otimes B) = r s = r (A) \cdot r (B)$ 。 $□$