例 6.102

依赖于

• 例 6.101

被以下题目直接调用

• 例 6.103
• 例 6.104
• 例 6.105

例 6.102

设 $A,B$ 分别为 $m,n$ 阶矩阵，$V$ 为 $m\times n$ 矩阵全体构成的线性空间， $V$ 上的线性变换 $\phi$ 定义为：$\phi (X)=AXB$。设 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_i(1\le i\le m)$，$B$ 的特征值为 ${\mu }_j(1\le j\le n)$。求证： 线性变换 $\phi$ 的特征值为 ${\lambda }_i{\mu }_j(1\le i\le m;1\le j\le n)$。

解答

证明 取 $V$ 的一组基为 $m\times n$ 基础矩阵：

$$E_{11},\cdots ,E_{1n},E_{21},\cdots ,E_{2n},\cdots ,E_{m1},\cdots ,E_{mn};$$

我们首先证明 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 $A\otimes B^{\prime }$。事实上，

$$\phi (E_{ij})=A{E}_{ij}B=A{e}_i{f}_j^{\prime }B=\sum _{k=1}^m\sum _{l=1}^n{a}_{ki}{b}_{jl}{E}_{kl},$$

其中 $e_i,f_j$ 分别是 $m,n$ 维标准单位列向量，故 $\phi$ 的表示矩阵为

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}{B}^{\prime }& a_{12}{B}^{\prime }& \cdots & a_{1m}{B}^{\prime }\\ a_{21}{B}^{\prime }& a_{22}{B}^{\prime }& \cdots & a_{2m}{B}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{B}^{\prime }& a_{m2}{B}^{\prime }& \cdots & a_{mm}{B}^{\prime }\end{array}\right)=A\otimes B^{\prime }.$$

注意到 $B^{\prime }$ 与 $B$ 有相同的特征值，故由例 6.101 可知， $\phi$ 的特征值为 ${\lambda }_i{\mu }_j$。$\square$