例 6.104

依赖于

• 例 6.102
• 例 6.13

被以下题目直接调用

• 无

例 6.104

设 $A,B$ 分别为 $m,n$ 阶矩阵，$V$ 为 $m\times n$ 矩阵全体构成的线性空间， $V$ 上的线性变换 $\phi$ 定义为：$\phi (X)=AXB$。证明： $\phi$ 是幂零线性变换的充要条件是 $A,B$ 至少有一个是幂零矩阵。

解答

证明 先证充分性。不妨设 $A$ 是幂零矩阵，即存在正整数 $k$，使得 $A^k=O$，则 ${\phi }^k(X)=A^{k}X{B}^k=O$，即 ${\phi }^k=0$，于是 $\phi$ 是幂零线性变换。

再证必要性。设 $A,B$ 都不是幂零矩阵，即对任意给定的正整数 $k$，$A^k\ne O$， $B^k\ne O$，只要证明 ${\phi }^k\ne 0$ 即可。我们给出以下 4 种证法。

证法 1 不妨设 $A^k$ 的第 $i$ 列非零，$B^k$ 的第 $j$ 行非零，即有列向量 $A^k{e}_i\ne 0$，行向量 $f_j^{\prime }{B}^k\ne 0$，其中 $e_i,f_j$ 分别是 $m,n$ 维标准单位列向量，于是

$${\phi }^k(E_{ij})=A^k{E}_{ij}{B}^k=A^k{e}_i{f}_j^{\prime }{B}^k=(A^k{e}_i)(f_j^{\prime }{B}^k)\ne O.$$

证法 2 设 $P_i,Q_i$ 为可逆矩阵，使得 $P_1{A}^k{Q}_1=\mathrm{diag}\{I_r,O\}$，$P_2{B}^k{Q}_2=\mathrm{diag}\{I_s,O\}$， 不妨设 $r\ge s\ge 1$，于是

$${\phi }^k(Q_1{P}_2)=P_1^{-1}\mathrm{diag}\{I_r,O\}\mathrm{diag}\{I_s,O\}{Q}_2^{-1}=P_1^{-1}\mathrm{diag}\{I_s,O\}{Q}_2^{-1}\ne O.$$

证法 3 由例 6.102 的证明过程可知，${\phi }^k$ 在基础矩阵这组基下的表示矩阵为 $A^k\otimes (B^k{)}^{\prime }$，再由 Kronecker 积的定义可知 $A^k\otimes (B^k{)}^{\prime }\ne O$，于是 ${\phi }^k\ne 0$。

证法 4 由例 6.13 可知，$\phi$ 是幂零线性变换当且仅当 $\phi$ 的所有特征值都等于零。 由于 $A,B$ 都不是幂零矩阵，故 $A$ 的特征值 ${\lambda }_i$ 不全为零，$B$ 的特征值 ${\mu }_j$ 不全为零。再由例 6.102 可知，$\phi$ 的特征值 ${\lambda }_i{\mu }_j$ 也不全为零， 从而 $\phi$ 不是幂零线性变换。$\square$