第 4 章解答题 13

依赖于

第 4 章解答题 13

设 $A, B$ 分别为数域 $K$ 上的 $m, n$ 阶方阵，线性变换 $φ : M_{m \times n} (K) \to M_{m \times n} (K)$ 定义为 $φ (X) = A X B$ ，试求 $Ker φ$ 的维数及其一组基。

设 $P_{1}, Q_{1}, P_{2}, Q_{2}$ 为非异阵，使得

P_{1} A Q_{1} = (I_{r} O O O), P_{2} B Q_{2} = (I_{s} O O O),

其中 $r = r (A), s = r (B)$ 。任取 $X \in Ker φ$ ，设

Q_{1}^{- 1} X P_{2}^{- 1} = (X_{11} X_{21} X_{12} X_{22})

为对应的分块（其中 $X_{11}$ 是 $r \times s$ 矩阵），则由 $φ (X) = A X B = O$ 可解出

X = Q_{1} (O X_{21} X_{12} X_{22}) P_{2},

其中 $X_{12}, X_{21}, X_{22}$ 可以任意取。因此， $dim Ker φ = mn - r s$ ，并且 $Ker φ$ 的一组基可取为

{Q_{1} E_{ij} P_{2} ∣ 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n, (i, j) \in / [1, r] \times [1, s]},

其中 $E_{ij}$ 为 $m \times n$ 基础矩阵。