例 5.80

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 问题 2014A07
• 问题 2021S07
• 问题 2022A12

例 5.80

设 $f(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$ 是数域 $K$ 上的不可约多项式，$\phi$ 是 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，${\alpha }_1\ne 0,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是 $V$ 中的向量，满足

$$\begin{array}{rl}& \phi ({\alpha }_1)={\alpha }_2,\phi ({\alpha }_2)={\alpha }_3,\cdots ,\phi ({\alpha }_{n-1})={\alpha }_n,\\ & \phi ({\alpha }_n)=-a_n{\alpha }_1-a_{n-1}{\alpha }_2-\cdots -a_1{\alpha }_n.\end{array}$$

证明：$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\}$ 是 $V$ 的一组基。

解答

证明 我们只要证明 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关即可。用反证法，设存在不全为零的 $n$ 个数 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$，使得

$$c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_n{\alpha }_n=0,$$

则有

$$(c_1{I}_V+c_2\phi +\cdots +c_n{\phi }^{n-1})({\alpha }_1)=0.$$

令 $g(x)=c_1+c_{2}x+\cdots +c_n{x}^{n-1}$，则 $g(x)\ne 0$ 且 $g(\phi )({\alpha }_1)=0$。另一方面，由假设容易验证 $f(\phi )({\alpha }_1)=0$。因为 $f(x)$ 不可约且 $g(x)\ne 0$ 的次数小于 $n$，故 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互素，从而存在 $K$ 上的多项式 $u(x),v(x)$，使得

$$f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.$$

在上式中代入 $x=\phi$，可得恒等式

$$f(\phi )u(\phi )+g(\phi )v(\phi )=I_V,$$

上式两边同时作用 ${\alpha }_1$ 可得

$${\alpha }_1=u(\phi )f(\phi )({\alpha }_1)+v(\phi )g(\phi )({\alpha }_1)=0,$$

这与假设 ${\alpha }_1\ne 0$ 矛盾，从而结论得证。$\square$