问题 2022A12

依赖于

• 例 5.80
• 例 2.3
• 第 2 章解答题 13

被以下题目直接调用

• 无

问题 2022A12

设 V 是有理数域上的 n 维线性空间, 证明: 存在 V 上 n 个线性变换 ${\phi }_1,{\phi }_2,\cdots ,{\phi }_n$ , 使得对 V 中任意的非零向量 $\alpha$ , 向量组 $\{{\phi }_1(\alpha ),{\phi }_2(\alpha ),\cdots ,{\phi }_n(\alpha )\}$ 均线性无关.

解答

本题的证明思路类似于例 5.80 的证明思路．任取素数 p，任取 V 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，定义线性变换 $\phi$，使其在这组基下的表示矩阵为

$A=\left(\begin{array}{cc}O& I_{n-1}\\ p& O\end{array}\right)$，即 p-基础循环矩阵（第 2 章解答题 13）或多项式 $x^n-p$ 的 Frobenius 块（例 2.3）。我们断言： $I_V,\phi ,\cdots ,{\phi }^{n-1}$ 即为满足条件的 n 个线性变换。用反证法，假设存在非零向量 $\alpha \in V$，使得 $\alpha ,\phi (\alpha ),\cdots ,{\phi }^{n-1}(\alpha )$ 线性相关，即存在不全为零的 n 个数 $c_1,c_2,\cdots ,c_n\in Q$，使得

$$c_1\mathbf{\alpha }+c_2\mathbf{\phi }(\mathbf{\alpha })+\cdots +c_n{\mathbf{\phi }}^{n-1}(\mathbf{\alpha })=0,$$

即有 $(c_1{\mathbf{I}}_V+c_2\mathbf{\phi }+\cdots +c_n{\mathbf{\phi }}^{n-1})(\mathbf{\alpha })=0$. 令 $g(x)=c_1+c_{2}x+\cdots +c_n{x}^{n-1}\in \mathbb{Q}[x]$，则 $g(x)\ne 0,\mathrm{deg}g(x)<n$ 且 $g(\mathbf{\phi })(\mathbf{\alpha })=0$ . 另一方面，由 $A^n=p{I}_n$ 可得 ${\phi }^n=p{I}_V$，即 $\phi$ 适合多项式 $f(x)=x^n-p$ . 由 Eisenstein 判别法可知 $f(x)$ 在 Q 上不可约，因此 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互素，故存在 $u(x),v(x)\in \mathbb{Q}[x]$，使得 $f(x)u(x)+g(x)v(x)=1$ . 在上式中代入 $x=\phi$，并作用于 $\alpha$ 上可得

$$\mathbf{\alpha }=u(\mathbf{\phi })f(\mathbf{\phi })(\mathbf{\alpha })+v(\mathbf{\phi })g(\mathbf{\phi })(\mathbf{\alpha })=0,$$

这与 $\alpha \ne 0$ 矛盾, 从而结论得证.