问题 2021S07

依赖于

• 例 5.80

被以下题目直接调用

• 无

问题 2021S07

设 $a_0,a_1,a_2$ 为有理数, 使得

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_0& a_2& a_1\\ a_1& a_0+a_2& a_1+a_2\\ a_2& a_1& a_0+a_2\end{array}\right)$$

为奇异阵. 证明: $a_0=a_1=a_2=0$ .

解答

令 $C=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$ 是 $f(x)=x^3-x-1$ 的友阵, 则 $C^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$, 从而 $A=a_0{I}_3+a_{1}C+a_2{C}^2$. 由 A 奇异可知, 存在非零向量 $\alpha \in Q^3$ , 使得 $A\alpha =0$ . 又 $f(x)$ 是 C 的特征多项式, 故由 Cayley-Hamilton 定理可知 $f(C)=O$ . 下面用反证法来证明. 若 $a_0,a_1,a_2$ 不全为零, 则 $g(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2$ 是一个非零有理系数多项式, 满足 $A=g(C)$ . 另一方面, 容易验证 $f(x)$ 没有有理根, 故 $f(x)$ 在 Q 上不可约, 于是 $(f(x),g(x))=1$ . 因此, 存在 $u(x),v(x)\in \mathbb{Q}[x]$ , 使得 $f(x)u(x)+g(x)v(x)=1$ . 在上式中代入 x = C, 并作用在 $\alpha$ 上有

$$\mathbf{\alpha }=u(\mathbf{C})f(\mathbf{C})\mathbf{\alpha }+v(\mathbf{C})g(\mathbf{C})\mathbf{\alpha }=0,$$

这与 $\alpha \ne 0$ 矛盾! 事实上, 本题是例 5.80 的变种. 也可以用特征值来直接证明结论. 设 $C$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\in \mathbb{C}$ , 则 $A=g(C)$ 的特征值为 $g({\lambda }_1),g({\lambda }_2),g({\lambda }_3)$ . 由 $A$ 奇异可知 $A$ 至少有一个特征值为零, 不妨设 $g({\lambda }_1)=0$ . 由于 $C$ 的特征多项式 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约, 故 $f(x)$ 是 ${\lambda }_1$ 的极小多项式, 于是 $f(x)\mid g(x)$ , 从而 $g(x)=0$, 即有 $a_0=a_1=a_2=0$ .