问题 2014A07

依赖于

• 例 5.80
• 第 4 章解答题 12

被以下题目直接调用

• 无

问题 2014A07

设 A 是有理数域 Q 上的 4 阶方阵, ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 是 Q 上的 4 维列向量, 满足:

$$\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_1={\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_2={\mathbf{\alpha }}_3,\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_4,\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_4=-{\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_4.$$

证明: 若 ${\alpha }_1\ne 0$ , 则 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4\}$ 是列向量空间 $Q^4$ 的一组基.

解答

参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/4114780.html, 其证明与第 4 章解答题 12 的证明类似, 其推广可参考例 5.80.