第 4 章解答题 12

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• 问题 2014A07

第 4 章解答题 12

设 $V$ 是有理数域上的三维空间，$\phi$ 是 $V$ 上的线性变换且 $\phi (\alpha )=\beta ,\phi (\beta )=\gamma ,\phi (\gamma )=\alpha +\beta$。求证：若 $\alpha \ne 0$，则 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 是线性无关的向量。

解答

先证明 $\alpha ,\beta$ 线性无关。若不然，因为 $\alpha \ne 0$，故可设 $\beta =k\alpha$，即 $\phi (\alpha )=k\alpha$，从而 $\gamma =\phi (\beta )=\phi (k\alpha )=k^2\alpha$， $\phi (\gamma )=\phi (k^2\alpha )=k^3\alpha$。又 $\phi (\gamma )=\alpha +\beta =\alpha +k\alpha$，于是 $k^3\alpha =\alpha +k\alpha$。因为 $\alpha \ne 0$，所以 $k^3-k-1=0$，但这个方程没有有理数解，从而 $k$ 不存在，这与假设矛盾。因此 $\alpha ,\beta$ 线性无关。再证明 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 线性无关。若不然，因为 $\alpha ,\beta$ 线性无关，故可设 $\gamma =k_1\alpha +k_2\beta$，则

$$\phi (\gamma )=\phi (k_1\alpha +k_2\beta )=k_1\phi (\alpha )+k_2\phi (\beta )=k_1\beta +k_2\gamma =k_1{k}_2\alpha +(k_1+k_2^2)\beta .$$

再由 $\phi (\gamma )=\alpha +\beta$ 以及 $\alpha ,\beta$ 线性无关得到

$$\{\begin{array}{rcl}{k}_1{k}_2& =& 1,\\ k_1+k_2^2& =& 1.\end{array}$$

容易证明这个方程组没有有理数解，这与假设矛盾。因此 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 线性无关。