例 5.76

依赖于

• 例 2.20
• 例 3.70
• 例 3.71

被以下题目直接调用

• 问题 2017A16

例 5.76

设 $f(x),g(x)$ 是数域 $K$ 上的互素多项式，$A$ 是 $K$ 上的 $n$ 阶方阵，满足 $f(A)=O$，证明：$g(A)$ 是可逆矩阵。

解答

证明 根据假设，存在 $K$ 上的多项式 $u(x),v(x)$，使得

$$f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.$$

在上式中代入 $x=A$，可得恒等式

$$f(A)u(A)+g(A)v(A)=I_n.$$

因为 $f(A)=O$，故有 $g(A)v(A)=I_n$，从而 $g(A)$ 是非异阵且 $g(A{)}^{-1}=v(A)$。$\square$

利用例 5.76 可以证明一大类可逆矩阵的问题，比如例 2.20，而下面的例题则是例 3.70 和例 3.71 的推广。