例 3.70

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 第 3 章解答题 7
• 第 3 章解答题 9

例 3.70

求证：$n$ 阶矩阵 $A$ 是幂等矩阵（即 $A^2=A$）的充要条件是：

$$\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(I_n-A)=n.$$

解答

证明 在下列矩阵的分块初等变换中矩阵的秩保持不变：

$$\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& I-A\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A& A\\ O& I-A\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A& A\\ A& I\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A-A^2& A\\ O& I\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}A-A^2& O\\ O& I\end{array}\right).$$

因此

$$\mathrm{r}\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& I-A\end{array}\right)=\mathrm{r}\left(\begin{array}{cc}A-A^2& O\\ O& I\end{array}\right),$$

即

$$\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(I-A)=\mathrm{r}(A-A^2)+n,$$

由此即得结论。