例 4.60

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• 第 4 章解答题 11

例 4.60

设 $\phi ,{\phi }_1,\cdots ,{\phi }_m$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，满足：${\phi }^2=\phi$ 且 $\phi ={\phi }_1+{\phi }_2+\cdots +{\phi }_m$。求证：$r(\phi )=r({\phi }_1)+r({\phi }_2)+\cdots +r({\phi }_m)$ 成立的充要条件是 ${\phi }_i^2={\phi }_i,{\phi }_i{\phi }_j=0(i\ne j)$。

证法 1（几何方法） 令 $V_0=\mathrm{Im}\phi ,V_i=\mathrm{Im}{\phi }_i$，则由 $\phi ={\phi }_1+{\phi }_2+\cdots +{\phi }_m$ 可得 $V_0\subseteq V_1+V_2+\cdots +V_m$。 先证充分性。由 ${\phi }_i^2={\phi }_i,{\phi }_i{\phi }_j=0(i\ne j)$ 可得 ${\phi }_i=({\phi }_1+{\phi }_2+\cdots +{\phi }_m){\phi }_i=\phi {\phi }_i$， 故 $V_i\subseteq V_0$，从而 $V_0=V_1+V_2+\cdots +V_m$。要证上述和为直和，只要证明零向量表示唯一即可。设

$$0={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_m,{\alpha }_i={\phi }_i(v_i)\in V_i(1\le i\le m),$$

则

$$0={\phi }_i({\phi }_1(v_1))+{\phi }_i({\phi }_2(v_2))+\cdots +{\phi }_i({\phi }_m(v_m))={\phi }_i^2(v_i)={\phi }_i(v_i)={\alpha }_i.$$

因此 $V_0=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_m$。两边同取维数即得

$$r(\phi )=r({\phi }_1)+r({\phi }_2)+\cdots +r({\phi }_m).$$

再证必要性。注意到

$$\dim V_0\le \dim (V_1+V_2+\cdots +V_m)\le \dim V_1+\dim V_2+\cdots +\dim V_m,$$

故由 $r(\phi )=r({\phi }_1)+r({\phi }_2)+\cdots +r({\phi }_m)$ 可得 $\dim V_0=\dim V_1+\dim V_2+\cdots +\dim V_m$，从而上式中的不等号只能取等号。由直和的充要条件可知， $V_1+V_2+\cdots +V_m$ 是直和，并且

$$V_0=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_m.$$

因为 $\mathrm{Im}{\phi }_i=V_i\subseteq V_0=\mathrm{Im}\phi$， 故对 $V$ 中任一向量 $\alpha$，存在 $\beta \in V$，使得 ${\phi }_i(\alpha )=\phi (\beta )$，从而

$$\begin{array}{rl}{\phi }_i(\alpha )& =\phi (\beta )={\phi }^2(\beta )=({\phi }_1+{\phi }_2+\cdots +{\phi }_m)\phi (\beta )\\ & =({\phi }_1+{\phi }_2+\cdots +{\phi }_m){\phi }_i(\alpha )\\ & ={\phi }_1{\phi }_i(\alpha )+{\phi }_2{\phi }_i(\alpha )+\cdots +{\phi }_m{\phi }_i(\alpha ).\end{array}$$

由直和表示的唯一性可知

$${\phi }_i^2(\alpha )={\phi }_i(\alpha ),{\phi }_j{\phi }_i(\alpha )=0(j\ne i),$$

于是 ${\phi }_i^2={\phi }_i,{\phi }_i{\phi }_j=0(i\ne j)$。

\par证法 2（代数方法） 把问题转换成代数的语言：设 $A,A_1,A_2,\cdots ,A_m$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $A^2=A$ 且 $A=A_1+A_2+\cdots +A_m$，求证： $r(A)=r(A_1)+r(A_2)+\cdots +r(A_m)$ 成立的充要条件是 $A_i^2=A_i,A_i{A}_j=O(i\ne j)$。

先证充分性。若 $A_i^2=A_i$，则由例 4.55 可知 $r(A_i)=\mathrm{tr}(A_i)$，从而

$$\begin{array}{rl}r(A)& =\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(A_1+A_2+\cdots +A_m)\\ & =\mathrm{tr}(A_1)+\mathrm{tr}(A_2)+\cdots +\mathrm{tr}(A_m)=r(A_1)+r(A_2)+\cdots +r(A_m).\end{array}$$

再证必要性。因为 $A$ 是幂等矩阵，故由例 3.70 可得 $n=r(I_n-A)+r(A)$，从而

$$n=r(I_n-A)+r(A_1)+r(A_2)+\cdots +r(A_m).$$

构造如下分块对角矩阵并对其实施分块初等变换，可得

$$\left(\begin{array}{ccccc}{I}_n-A& & & & \\ & A_1& & & \\ & & A_2& & \\ & & & \ddots & \\ & & & & A_m\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}{I}_n-A& & & & \\ A_1& A_1& & & \\ A_2& & A_2& & \\ ⋮& & & \ddots & \\ A_m& & & & A_m\end{array}\right)\to$$ $$\left(\begin{array}{ccccc}{I}_n& A_1& A_2& \cdots & A_m\\ A_1& A_1& & & \\ A_2& & A_2& & \\ ⋮& & & \ddots & \\ A_m& & & & A_m\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}{I}_n& O& O& \cdots & O\\ O& A_1-A_1^2& -A_1{A}_2& \cdots & -A_1{A}_m\\ O& -A_2{A}_1& A_2-A_2^2& \cdots & -A_2{A}_m\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ O& -A_m{A}_1& -A_m{A}_2& \cdots & A_m-A_m^2\end{array}\right).$$

由 $n=r(I_n-A)+r(A_1)+r(A_2)+\cdots +r(A_m)$ 可得最后一个矩阵的右下角部分必为零矩阵，从而 $A_i^2=A_i,A_i{A}_j=O(i\ne j)$。$\square$

\par注 在例 4.60 中，若取 $\phi =I_V$ 为 $V$ 上的恒等变换，则此时线性变换 ${\phi }_i$ 满足 ${\phi }_1+{\phi }_2+\cdots +{\phi }_m=I_V$。例 4.60 的证明过程告诉我们，如果下列条件之一成立：

$$\begin{array}{ll}(1)& \dim V=\dim \mathrm{Im}{\phi }_1+\dim \mathrm{Im}{\phi }_2+\cdots +\dim \mathrm{Im}{\phi }_m;\\ (2)& {\phi }_i^2={\phi }_i,{\phi }_i{\phi }_j=0(i\ne j),\end{array}$$

则 $V=\mathrm{Im}{\phi }_1\oplus \mathrm{Im}{\phi }_2\oplus \cdots \oplus \mathrm{Im}{\phi }_m$， 并且 ${\phi }_i$ 就是 $V$ 到 $\mathrm{Im}{\phi }_i$ 上的投影变换。例 4.59 也有类似的几何意义。另外，例 4.57 和例 4.58 也可用幂等变换等价于投影变换来给出直观的几何证明，请读者自行思考。

解答

（源码中本题没有识别到单独的“证明/解/解答”段；题目与解答可能在上方原文中连排。）