例 4.55

依赖于

• 例 4.54

被以下题目直接调用

• 例 4.56

例 4.55

设 $A$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶幂等矩阵，求证：

$$\begin{array}{ll}(1)& \text{存在 }n\text{ 阶非异阵 }P,\text{使得 }{P}^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right),\text{其中 }r=r(A);\\ (2)& r(A)=\mathrm{tr}(A).\end{array}$$

解答

证明 将 $A$ 看成是 $n$ 维列向量空间 ${\mathbb{F}}^n$ 上的线性变换，则它是幂等变换，因此由例 4.54 的注即得 (1)。注意到

$$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)=r=r(A),$$

故 (2) 也成立。$\square$