例 4.54

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• 例 4.55

例 4.54

设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等变换，证明：$V=U\oplus W$，其中 $U=\mathrm{Im}\phi =\mathrm{Ker}(I_V-\phi ),W=\mathrm{Im}(I_V-\phi )=\mathrm{Ker}\phi$，且 $\phi$ 就是 $V$ 到 $U$ 上的投影变换。

解答

证明 因为 ${\phi }^2=\phi$，故 $\mathrm{Im}\phi \subseteq \mathrm{Ker}(I-\phi ),\mathrm{Im}(I-\phi )\subseteq \mathrm{Ker}\phi$。对任意的 $\alpha \in V,\phi (\alpha )\in \mathrm{Ker}(I-\phi ),(I-\phi )(\alpha )\in \mathrm{Ker}\phi$，于是 $\alpha =(I-\phi )(\alpha )+\phi (\alpha )\in \mathrm{Ker}\phi +\mathrm{Ker}(I-\phi )$，从而 $V=\mathrm{Ker}\phi +\mathrm{Ker}(I-\phi )$。任取 $\beta \in \mathrm{Ker}\phi \cap \mathrm{Ker}(I-\phi )$，则 $\beta =(I-\phi )(\beta )+\phi (\beta )=0$，即 $\mathrm{Ker}\phi \cap \mathrm{Ker}(I-\phi )=0$。因此，$V=\mathrm{Ker}\phi \oplus \mathrm{Ker}(I-\phi )$。特别地，由维数公式可得 $\dim \mathrm{Im}\phi =\dim \mathrm{Ker}(I-\phi ),\dim \mathrm{Im}(I-\phi )=\dim \mathrm{Ker}\phi$，从而 $\mathrm{Im}\phi =\mathrm{Ker}(I-\phi ),\mathrm{Im}(I-\phi )=\mathrm{Ker}\phi$。

令 $U=\mathrm{Im}\phi =\mathrm{Ker}(I-\phi ),W=\mathrm{Im}(I-\phi )=\mathrm{Ker}\phi$，则 $V=U\oplus W$。注意到对任意的 $\alpha \in V,\alpha =\phi (\alpha )+(I-\phi )(\alpha )$，其中 $\phi (\alpha )\in U,(I-\phi )(\alpha )\in W$，故 $\phi$ 就是 $V$ 到 $U$ 上的投影变换。$\square$