例 3.71

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 5.76

例 3.71

求证：$n$ 阶矩阵 $A$ 是对合矩阵（即 $A^2=I_n$）的充要条件是：

$$\mathrm{r}(I_n+A)+\mathrm{r}(I_n-A)=n.$$

解答

证明 在下列矩阵的分块初等变换中，矩阵的秩保持不变：

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_n+A& O\\ O& I_n-A\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}{I}_n+A& I_n+A\\ O& I_n-A\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}{I}_n+A& I_n+A\\ I_n+A& 2I_n\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(I_n-A^2)& I_n+A\\ O& 2I_n\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(I_n-A^2)& O\\ O& 2I_n\end{array}\right).$$

因此

$$\mathrm{r}\left(\begin{array}{cc}{I}_n+A& O\\ O& I_n-A\end{array}\right)=\mathrm{r}\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(I_n-A^2)& O\\ O& 2I_n\end{array}\right),$$

即 $\mathrm{r}(I_n+A)+\mathrm{r}(I_n-A)=\mathrm{r}(I_n-A^2)+n$，由此即得结论。