例 2.20

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• 无显式依赖

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• 例 5.76

例 2.20

设 $n$ 阶方阵 $A$ 适合等式 $A^2-3A+2I_n=O$，求证：$A$ 和 $A+I_n$ 都是可逆阵，而若 $A\ne I_n$，则 $A-2I_n$ 必不是可逆阵。

解答

证明 由已知得 $A(A-3I_n)=-2I_n$，因此 $A$ 是可逆阵。又 $A^2-3A-4I_n=-6I_n$，于是 $(A+I_n)(A-4I_n)=-6I_n$，故 $A+I_n$ 也是可逆阵。

另一方面，由已知等式可得 $(A-I_n)(A-2I_n)=O$，如果 $A-2I_n$ 可逆，则 $A-I_n=O$，$A=I_n$ 和假设不合，因此 $A-2I_n$ 不是可逆阵。$\square$