例 5.59

依赖于

• 例 1.4
• 例 1.5
• 例 1.14
• 例 1.26

被以下题目直接调用

• 问题 2022A01

例 5.59

设 $A(x_1,x_2,\cdots ,x_m)=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶方阵，其元素

$$a_{ij}=a_{ij}(x_1,x_2,\cdots ,x_m)$$

都是 $K$ 上的多元多项式。设

$$g(x_1,x_2,\cdots ,x_m),h_i(x_1,x_2,\cdots ,x_m)\ne 0(1\le i\le k)$$

都是 $K$ 上的多元多项式，

$$U=\left\{(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\in K^m\mid h_i(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\ne 0(1\le i\le k)\right\}.$$

若对所有的 $(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\in U$，都成立

$$\left|A(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\right|=g(a_1,a_2,\cdots ,a_m),$$

证明：$\left|A(x_1,x_2,\cdots ,x_m)\right|=g(x_1,x_2,\cdots ,x_m)$。

解答

证明 用反证法，设 $(|A|-g)(x_1,x_2,\cdots ,x_m)\ne 0$，则由多元多项式的整性可知

$$(|A|-g)h_1\cdots h_k(x_1,x_2,\cdots ,x_m)\ne 0,$$

于是存在 $a_1,a_2,\cdots ,a_m\in K$，使得

$$(|A|-g)h_1\cdots h_k(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\ne 0,$$

从而 $h_i(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\ne 0(1\le i\le k)$，即 $(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\in U$，并且 $(|A|-g)(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\ne 0$，即

$$\left|A(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\right|\ne g(a_1,a_2,\cdots ,a_m),$$

这与假设矛盾。$\square$

例 5.59 告诉我们：在元素为多元多项式的文字行列式的求值过程中，在假设某些非零条件成立的情形下得到的结果，其实就是所求行列式的值。因此，在求行列式的过程中，可以暂不考虑未定元取特殊值的情形，而把主要精力放在一般的情形进行计算即可。例如，读者不难发现在例 1.4、例 1.5、例 1.14 和例 1.26 的求值过程中，某些参数等于零的讨论并不影响最终的答案。

利用多元多项式的整性还可以给出第 $1$ 章行列式求根法的严格证明。