例 1.26

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 第 1 章填空题 3

例 1.26

计算下列行列式的值：

$$|A|=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_1^{n-1}& a_1^{n-2}{b}_1& \cdots & a_1{b}_1^{n-2}& b_1^{n-1}\\ a_2^{n-1}& a_2^{n-2}{b}_2& \cdots & a_2{b}_2^{n-2}& b_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_n^{n-1}& a_n^{n-2}{b}_n& \cdots & a_n{b}_n^{n-2}& b_n^{n-1}\end{array}\right|.$$

解答

解 若所有的 $a_i$ 都不为零，则从第 $i$ 行提出公因子 $a_i^{n-1}(1\le i\le n)$，得到的行列式是一个 Vandermonde 行列式，因此原行列式的值为

$$|A|=\prod _{i=1}^n{a}_i^{n-1}\cdot \prod _{1\le i<j\le n}\left(\frac{b_j}{a_j}-\frac{b_i}{a_i}\right)=\prod _{1\le i<j\le n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i).$$

若只有一个 $a_i=0$，则按第 $i$ 行进行展开，得到的行列式是具有相同类型的 $n-1$ 阶行列式。若至少有两个 $a_i=a_j=0$，则第 $i$ 行与第 $j$ 行成比例，因此行列式的值等于零。经过简单的计算发现，后面两种情形的答案都可以统一到第一种情形的答案。$\square$