例 1.14

依赖于

• 例 1.13
• 例 6.54

被以下题目直接调用

• 例 1.15
• 第 1 章解答题 9
• 例 6.65
• 第 8 章解答题 4

例 1.14

计算 $n$ 阶行列式（$bc\ne 0$）：

$$D_n=\left|\begin{array}{cccccc}a& b& & & & \\ c& a& b& & & \\ & c& a& b& & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & c& a& b\\ & & & & c& a\end{array}\right|.$$

解答

解 由例 1.13 可知递推式为 $D_n=a{D}_{n-1}-bc{D}_{n-2}(n\ge 2)$。为方便后面计算通项，可由 $D_0=1,D_1=a$ 解出 $D_{-1}=0$。令 $a=\alpha +\beta ,bc=\alpha \beta$，则

$$D_n-\alpha D_{n-1}=\beta (D_{n-1}-\alpha D_{n-2}),D_n-\beta D_{n-1}=\alpha (D_{n-1}-\beta D_{n-2}).$$

于是

$$D_n-\alpha D_{n-1}={\beta }^n,D_n-\beta D_{n-1}={\alpha }^n.$$

因此，若 $a^2\ne 4bc$（即 $\alpha \ne \beta$），则

$$D_n=\frac{{\alpha }^{n+1}-{\beta }^{n+1}}{\alpha -\beta };$$

若 $a^2=4bc$（即 $\alpha =\beta$），则

$$D_n=(n+1){\left(\frac{a}{2}\right)}^n.\square$$

注 对由递推式决定的数列如何求其通项一般来说并不容易，如果在递推式中系数为常数，我们将有一个统一的方法来处理，参考例 6.54。