例 1.13

依赖于

• 第 1 章解答题 8

被以下题目直接调用

• 例 1.14
• 例 1.19

例 1.13

求下列行列式的递推关系式（空白处均为 $0$）：

$$D_n=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_1& b_1& & & & \\ c_1& a_2& b_2& & & \\ & c_2& a_3& \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & a_{n-1}& b_{n-1}\\ & & & & c_{n-1}& a_n\end{array}\right|.$$

解答

解 当 $n\ge 2$ 时，注意到 $a_n$ 的余子式是 $D_{n-1}$，$b_{n-1}$ 的余子式中 $c_{n-1}$ 的余子式是 $D_{n-2}$，故 $D_n$ 按最后一列进行展开可得

$$D_n=a_n{D}_{n-1}-b_{n-1}{c}_{n-1}{D}_{n-2}(n\ge 2),D_0=1,D_1=a_1.\square$$

注 令 $b_1=\cdots =b_{n-1}=1$，$c_1=\cdots =c_{n-1}=-1$，则行列式 $D_n$ 与连分数密切相关（参考解答题 8）。进一步，令 $a_1=\cdots =a_n=1$，则行列式 $D_n$ 满足：

$$D_n=D_{n-1}+D_{n-2}(n\ge 2),D_0=1,D_1=1,$$

这就是著名的 Fibonacci 数列。