问题 2022A01

依赖于

• 例 1.18
• 例 5.59

被以下题目直接调用

• 无

问题 2022A01

求下列 n 阶行列式的值:

$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{cccc}\frac{1}{1-x_1{y}_1}& \frac{1}{1-x_1{y}_2}& \dots & \frac{1}{1-x_1{y}_n}\\ \frac{1}{1-x_2{y}_1}& \frac{1}{1-x_2{y}_2}& \dots & \frac{1}{1-x_2{y}_n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{1}{1-x_n{y}_1}& \frac{1}{1-x_n{y}_2}& \dots & \frac{1}{1-x_n{y}_n}\end{array}\right|.$$

解答

先假设所有的 $y_j\ne 0$，此时可设 $y_j=-\frac{1}{z_j}(1\le j\le n)$，从而

$$\frac{1}{1-x_i{y}_j}=\frac{1}{1+\frac{x_i}{z_j}}=\frac{z_j}{x_i+z_j}.$$

将 $|\mathbf{A}|$ 的第 $j$ 列提出公因子 $z_j(1\le j\le n)$，则得到Cauchy行列式 $\left|\frac{1}{x_i+z_j}\right|$，于是由例 1.18可得

$$\begin{array}{l}|\mathbf{A}|=z_1\dots z_n\frac{{\prod }_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)(z_j-z_i)}{{\prod }_{i,j=1}^n(x_i+z_j)}\\ =(-1{)}^n\frac{1}{y_1\cdots y_n}\frac{{\prod }_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)(\frac{1}{y_i}-\frac{1}{y_j})}{{\prod }_{i,j=1}^n(x_i-\frac{1}{y_j})}\\ =\frac{{\prod }_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)(y_j-y_i)}{{\prod }_{i,j=1}^n(1-x_i{y}_j)}.\end{array}$$

对于一般的情形, 可将 $|A|$ 中元素的分母全部提取出来, 得到一个新的行列式 $|B|$ , 其元素都是关于 $x_i,y_j(1\le i,j\le n)$ 的多元多项式. 由例 5.59 可知, 假设所有的 $y_j\ne 0$ 不影响 $|B|$ 的求值, 从而也不影响 $|A|$ 的求值. 因此, 上式就是最终的计算结果. 当然, 也可以仿照例 1.18 的解法 1 (递推法) 和解法 2 (求根法) 的计算过程完全类似地得到本题的结论, 具体的细节留给读者完成.