例 3.19

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 3.21
• 例 3.25
• 第 3 章填空题 9

例 3.19

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 是向量空间 $V$ 中一组向量，向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_k$ 可用 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性表出，求证：向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_k$ 的秩小于等于向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 的秩。

解答

证明 不失一般性，可设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 是向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 的极大无关组， ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 是向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_k$ 的极大无关组。因为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 可用 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性表出，所以 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 也可用 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性表出，从而由 \S3.1.3 定理 2 可知 $s\le r$，结论成立。$\square$