第 3 章填空题 9

依赖于

• 例 3.19

被以下题目直接调用

• 无

第 3 章填空题 9

设 ${\alpha }_1=(1,3,0,2),{\alpha }_2=(-1,0,1,0),{\alpha }_3=(5,9,-2,6)$，问：是否存在数 $a_{ij}(1\le i,j\le 3)$，使得向量组

$${\beta }_1=a_{11}{\alpha }_1+a_{12}{\alpha }_2+a_{13}{\alpha }_3,{\beta }_2=a_{21}{\alpha }_1+a_{22}{\alpha }_2+a_{23}{\alpha }_3,{\beta }_3=a_{31}{\alpha }_1+a_{32}{\alpha }_2+a_{33}{\alpha }_3$$

线性无关？（ ）

解答

不存在。因为通过计算可知，向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的秩等于 2，故表出向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 的秩小于等于 2（参考例 3.19 的注），从而不可能线性无关。