例 3.25

依赖于

• 例 3.19

被以下题目直接调用

• 无

例 3.25

设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 是一组线性无关的向量（$V$ 的子空间 $U$ 的一组基），$e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 是 $V$ 的一组基。求证：必可在 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 中选出 $n-m$ 个向量，使之和 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 一起组成 $V$ 的一组基。

解答

证明 若 $m<n$，将 $e_i(1\le i\le n)$ 依次加入向量组 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$，则必有一个 $e_i$，使得 $v_1,v_2,\cdots ,v_m,e_i$ 线性无关。这是因为若任意一个 $e_i$ 加入 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 后均线性相关，则每个 $e_i$ 都可用 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 线性表示，由例 3.19 可得 $n\le m$，矛盾。现不妨设 $i=m+1$。若 $m+1<n$，又可从 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 中找到一个向量，加入之后仍线性无关。不断这样做下去，便可将 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 扩张成为 $V$ 的一组基。