例 3.21

依赖于

• 例 3.19
• 例 3.20

被以下题目直接调用

• 无

例 3.21

设有两个向量组 $A=\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$ 和 $B=\{{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\}$，求证：它们等价的充要条件是它们的秩相等且其中一组向量可以用另外一组向量线性表示。

解答

证明 必要性由向量组等价的定义和例 3.19 即得，下证充分性。假设向量组 $A$ 可用向量组 $B$ 线性表示，且它们的秩都等于 $r$。不失一般性，设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 是向量组 $A$ 的极大无关组， ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r$ 是向量组 $B$ 的极大无关组。考虑向量组 $C=\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r;{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r\}$。 因为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 可用 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r$ 线性表示，故 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r$ 是向量组 $C$ 的极大无关组，从而向量组 $C$ 的秩等于 $r$。 又因为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性无关，故由例 3.20 可知， ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 也是向量组 $C$ 的极大无关组，从而 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_r$ 可用 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性表示，于是向量组 $B$ 也可用向量组 $A$ 线性表示。 因此，向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价。