例 9.97

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 9.98
• 例 9.99
• 例 9.100

例 9.97

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶复矩阵，${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是其特征值，求证：

$$\sum _{i=1}^n|{\lambda }_i{|}^2\le \sum _{i,j=1}^n|a_{ij}{|}^2,$$

且等号成立的充要条件是 $A$ 为正规矩阵。

解答

证明 由 Schur 定理可知，存在酉矩阵 $U$，使得

$${\overline{U}}^{\prime }AU=B=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

为上三角矩阵，于是

$$B{\overline{B}}^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\overline{{\lambda }_1}& 0& \cdots & 0\\ \overline{b_{12}}& \overline{{\lambda }_2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \overline{b_{1n}}& \overline{b_{2n}}& \cdots & \overline{{\lambda }_n}\end{array}\right).$$

经计算可得

$$\mathrm{tr}(B{\overline{B}}^{\prime })=\sum _{i=1}^n|{\lambda }_i{|}^2+\sum _{1\le i<j\le n}|b_{ij}{|}^2.$$

另一方面，由迹的交换性可得

$$\mathrm{tr}(B{\overline{B}}^{\prime })=\mathrm{tr}({\overline{U}}^{\prime }A{\overline{A}}^{\prime }U)=\mathrm{tr}(A{\overline{A}}^{\prime })=\sum _{i,j=1}^n|a_{ij}{|}^2,$$

再由上述两个等式可得

$$\sum _{i=1}^n|{\lambda }_i{|}^2+\sum _{1\le i<j\le n}|b_{ij}{|}^2=\sum _{i,j=1}^n|a_{ij}{|}^2.\text{\hspace{1em}(9.13)}$$

由 (9.13) 式即得要证的不等式，且等号成立当且仅当 $b_{ij}=0(1\le i<j\le n)$， 这也当且仅当 $A$ 酉相似于对角矩阵 $B$，从而当且仅当 $A$ 是正规矩阵。$\square$