例 9.100

依赖于

• 例 9.97

被以下题目直接调用

• 无

例 9.100

设 $A,B$ 和 $AB$ 都是 $n$ 阶复正规矩阵，求证：$BA$ 也是复正规矩阵。

解答

证明 设 $AB$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则由例 9.97 可得

$$\mathrm{tr}((AB){\overline{(AB)}}^{\prime })=|{\lambda }_1{|}^2+|{\lambda }_2{|}^2+\cdots +|{\lambda }_n{|}^2.$$

由迹的交换性可得

$$\begin{array}{rl}\mathrm{tr}((AB){\overline{(AB)}}^{\prime })& =\mathrm{tr}(AB{\overline{B}}^{\prime }{\overline{A}}^{\prime })=\mathrm{tr}(B{\overline{B}}^{\prime }{\overline{A}}^{\prime }A),\\ \mathrm{tr}((BA){\overline{(BA)}}^{\prime })& =\mathrm{tr}(BA{\overline{A}}^{\prime }{\overline{B}}^{\prime })=\mathrm{tr}({\overline{B}}^{\prime }BA{\overline{A}}^{\prime }).\end{array}$$

再由 $A,B$ 是正规矩阵可得 $A{\overline{A}}^{\prime }={\overline{A}}^{\prime }A,B{\overline{B}}^{\prime }={\overline{B}}^{\prime }B$， 由此即得

$$\mathrm{tr}((BA){\overline{(BA)}}^{\prime })=|{\lambda }_1{|}^2+|{\lambda }_2{|}^2+\cdots +|{\lambda }_n{|}^2.$$

注意到 $BA$ 和 $AB$ 具有相同的特征值，故由例 9.97 可知，$BA$ 也是正规矩阵。$\square$