例 9.99

依赖于

• 例 9.97
• 例 9.90
• 例 9.88

被以下题目直接调用

• 无

例 9.99

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶实矩阵，其特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 都是实数，求证：

$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^2\le \sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}^2,$$

且等号成立的充要条件是 $A$ 为对称矩阵。

解答

证法 1 由例 9.97 即得不等式，且等号成立当且仅当 $A$ 是实正规矩阵。又 $A$ 的特征值全为实数， 故由例 9.90 可知，$A$ 正交相似于对角矩阵，从而为实对称矩阵。

证法 2 由例 9.88 以及完全类似于例 9.97 的讨论可得不等式，且等号成立当且仅当 $A$ 正交相似于 对角矩阵，从而为实对称矩阵。$\square$