例 9.98

依赖于

• 例 9.97

被以下题目直接调用

• 无

例 9.98

设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶复矩阵，${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是其特征值，求证：

$$\sum _{i=1}^n|{\lambda }_i{|}^2=\underset{\det X\ne 0}{\inf }\Vert X^{-1}AX{\Vert }_F^2,$$

其中 $\Vert \cdot {\Vert }_F$ 表示由复矩阵的 Frobenius 内积诱导的范数。

解答

证明 注意到对任意的可逆矩阵 $X$，矩阵 $X^{-1}AX$ 的特征值仍为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，故由例 9.97 可得

$$\Vert X^{-1}AX{\Vert }_F^2\ge \sum _{i=1}^n|{\lambda }_i{|}^2.\text{\hspace{1em}(9.14)}$$

另一方面，设 $P$ 为可逆矩阵，使得

$$P^{-1}AP=J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1),J_{r_2}({\lambda }_2),\cdots ,J_{r_k}({\lambda }_k)\}$$

为 Jordan 标准型，对任意的 $\epsilon >0$，记 $J_{r_i}({\lambda }_i,\epsilon )$ 为 $r_i$ 阶上三角矩阵，其主对角元全为 ${\lambda }_i$，上次对角元全为 $\epsilon$，其余元素全为零。 显然，$J_{r_i}({\lambda }_i,\epsilon )$ 的特征值全为 ${\lambda }_i$，其几何重数为 $1$， 于是 $J_{r_i}({\lambda }_i,\epsilon )$ 相似于 $J_{r_i}({\lambda }_i)(1\le i\le k)$。 记

$$J(\epsilon )=\mathrm{diag}\{J_{r_1}({\lambda }_1,\epsilon ),J_{r_2}({\lambda }_2,\epsilon ),\cdots ,J_{r_k}({\lambda }_k,\epsilon )\},$$

则对任意的 $\epsilon >0$，$J(\epsilon )$ 相似于 $J$，从而也相似于 $A$，因此

$$\underset{\det X\ne 0}{\inf }\Vert X^{-1}AX{\Vert }_F^2\le \Vert J(\epsilon ){\Vert }_F^2\le \sum _{i=1}^n|{\lambda }_i{|}^2+(n-1){\epsilon }^2.\text{\hspace{1em}(9.15)}$$

最后由 (9.14) 式和 (9.15) 式即得结论。$\square$