例 9.36

依赖于

• 例 9.5
• 例 8.71
• 例 9.14

被以下题目直接调用

• 例 9.37
• 例 9.38

例 9.36

设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$ 是一组向量， $G=G({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)$ 是其 Gram 矩阵。

(1) 求证：$\{{\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_r}\}$ 是极大无关组的充要条件是 $G$ 的第 $i_1,i_2,\cdots ,i_r$ 行和列构成的主子式非零，且对任意的 $i\ne i_1,i_2,\cdots ,i_r$，$G$ 的第 $i_1,i_2,\cdots ,i_r,i$ 行和列构成的主子式等于零。

(2)

$$R=\{(c_1,c_2,\cdots ,c_m{)}^{\prime }\in {\mathbb{R}}^m\mid c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_m{\alpha }_m=0\}$$

称为向量组 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$ 的线性关系集合，容易验证它是 ${\mathbb{R}}^m$ 的线性子空间。求证：$R$ 是线性方程组 $Gx=0$ 的解空间。

(3) 设 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m\}$ 线性无关， $\{{\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_m\}$ 是由 Gram-Schmidt 方法得到的标准正交向量组。 设上述两组向量之间的线性关系由可逆矩阵 $P$ 定义，即

$$({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_m)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)P,$$

求证：$P$ 由 $G$ 唯一确定。

解答

证明 (1) $\{{\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_r}\}$ 是极大无关组当且仅当 $\{{\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_r}\}$ 线性无关，且对任意的 $i\ne i_1,i_2,\cdots ,i_r$，$\{{\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_r},{\alpha }_i\}$ 线性相关，故由例 9.5 (2) 即知结论成立。

(2) 由内积的正定性可知，$\beta =(c_1,c_2,\cdots ,c_m{)}^{\prime }\in R$ 当且仅当

$$\left(\sum _{i=1}^m{c}_i{\alpha }_i,\sum _{i=1}^m{c}_i{\alpha }_i\right)=0,$$

即 ${\beta }^{\prime }G\beta =0$，再由例 8.71 可知，这也当且仅当 $G\beta =0$，即 $\beta =(c_1,c_2,\cdots ,c_m{)}^{\prime }$ 是线性方程组 $Gx=0$ 的解。

(3) 由例 9.14 的证明过程可得

$$I_m=G({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_m)=P^{\prime }G({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m)P=P^{\prime }GP,$$

从而 $G=(P^{-1}{)}^{\prime }{P}^{-1}$ 为 Cholesky 分解。由 Cholesky 分解的唯一性可知， $P$ 由 $G$ 唯一确定。$\square$