问题 2023S12

依赖于

• 例 3.87
• 例 8.70
• 例 9.36
• 第 3 章解答题 10

被以下题目直接调用

• 无

问题 2023S12

设 A 为 n 阶半正定实对称阵. 证明: $r(A)=r$ 的充要条件是 A 有一个 r 阶主子式 $|M|$ 非零, 且所有包含 $|M|$ 的 $r+1$ 阶加边主子式全为零.

注可以采用第八章的方法, 也可以采用第九章的方法.

解答

本题是第 3 章解答题 10 的半正定版本. 下面给出代数和几何两种证法.

证法 1 (代数证法) 必要性由例 3.87 以及秩的子式判别法即得, 下证充分性. 不妨设 $|M|\ne 0$ 是 $\mathbf{A}$ 的前 $r$ 行、前 $r$ 列构成的 $r$ 阶主子式. 考虑任一 $r+2$ 阶加边主子阵, 利用 $M$ 以及第三类分块初等变换对称地消去第一分块行和第一分块列的其他分块, 可得

$$\left(\begin{array}{ccc}M& \alpha & \beta \\ {\alpha }^{\prime }& a& b\\ {\beta }^{\prime }& b& c\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}M& 0& 0\\ 0& a-{\alpha }^{\prime }{M}^{-1}\alpha & b-{\alpha }^{\prime }{M}^{-1}\beta \\ 0& b-{\beta }^{\prime }{M}^{-1}\alpha & c-{\beta }^{\prime }{M}^{-1}\beta \end{array}\right).$$

由 $|M|$ 的任一 $r+1$ 阶加边主子式为零可知, $a-{\alpha }^{\prime }{M}^{-1}\alpha =c-{\beta }^{\prime }{M}^{-1}\beta =0$ . 由于上述变换是合同变换, 故右边的矩阵是半正定实对称阵. 由例 8.70可知 $b-{\alpha }^{\prime }{M}^{-1}\beta =b-{\beta }^{\prime }{M}^{-1}\alpha =0$ . 注意到上述讨论的任意性, 故可通过对称分块初等变换将 $\mathbf{A}$ 化为 $\left(\begin{array}{cc}M& O\\ O& O\end{array}\right)$ , 因此 $\mathrm{r}(A)=r$ .

证法 2 (几何证法) 设 C 为 n 阶实方阵, 使得 $A=C^{\prime }C$ . 又设 $C=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$ 为列分块, 则 $A=(({\alpha }_i,{\alpha }_j))$ 即为列向量组 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\}$ 在 $R^n$ (取标准内积) 中的 Gram 矩阵. 注意到 $\mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(C^{\prime }C)=\mathrm{r}(C)$ 等于列向量组 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\}$ 的秩, 故由例 9.36 (1) 即得本题结论.