第 3 章解答题 10

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• 问题 2023S12

第 3 章解答题 10

设 $A$ 是一个对称矩阵，$A$ 有一个 $r$ 阶主子式 $|M|$ 不等于零且 $A$ 所有包含 $|M|$ 的 $r+1$ 及 $r+2$ 阶加边主子式都等于零，求证：$A$ 的秩等于 $r$。

解答

对一个对称矩阵进行一次行对换，再进行一次对称的列对换，得到的矩阵仍是对称矩阵。因此，不妨设 $M$ 在 $A$ 的左上角。现考虑任意一个包含 $M$ 的 $r+2$ 阶主子阵

$$\left(\begin{array}{ccc}M& \alpha & \beta \\ {\alpha }^{\prime }& a_{ss}& a_{st}\\ {\beta }^{\prime }& a_{ts}& a_{tt}\end{array}\right),$$

注意由对称性 $a_{st}=a_{ts}$。因为 $|M|\ne 0$，故 $M$ 是可逆矩阵，对上述矩阵作分块初等行变换分别消去 ${\alpha }^{\prime }$ 及 ${\beta }^{\prime }$，可得

$$\left(\begin{array}{ccc}M& \alpha & \beta \\ 0& a_{ss}-{\alpha }^{\prime }{M}^{-1}\alpha & a_{st}-{\alpha }^{\prime }{M}^{-1}\beta \\ 0& a_{ts}-{\beta }^{\prime }{M}^{-1}\alpha & a_{tt}-{\beta }^{\prime }{M}^{-1}\beta \end{array}\right).$$

因为

$$\left|\begin{array}{cc}M& \alpha \\ {\alpha }^{\prime }& a_{ss}\end{array}\right|=0,$$

故 $a_{ss}-{\alpha }^{\prime }{M}^{-1}\alpha =0$。同理 $a_{tt}-{\beta }^{\prime }{M}^{-1}\beta =0$。又 $a_{ts}-{\beta }^{\prime }{M}^{-1}\alpha$ 是一个数，把它看成 $1\times 1$ 矩阵，转置后有

$$a_{ts}-{\beta }^{\prime }{M}^{-1}\alpha =a_{st}-{\alpha }^{\prime }{M}^{-1}\beta .$$

再由已知，上述 $r+2$ 阶子式等于零，可得

$$\left|\begin{array}{ccc}M& \alpha & \beta \\ 0& a_{ss}-{\alpha }^{\prime }{M}^{-1}\alpha & a_{st}-{\alpha }^{\prime }{M}^{-1}\beta \\ 0& a_{ts}-{\beta }^{\prime }{M}^{-1}\alpha & a_{tt}-{\beta }^{\prime }{M}^{-1}\beta \end{array}\right|=0,$$

从而 $a_{ts}-{\beta }^{\prime }{M}^{-1}\alpha =a_{st}-{\alpha }^{\prime }{M}^{-1}\beta =0$。上述讨论对任意的 $r$ 维列向量 $\alpha ,\beta$ 都成立。因此，若在 $A$ 中用上述方法消去 ${\alpha }^{\prime }$ 时，其后面的项全部消去，于是可消去除前 $r$ 行外的所有行。这就证明了 $A$ 的秩等于 $r$。