例 3.87

依赖于

• 例 3.86

被以下题目直接调用

• 例 3.88

例 3.87

设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，$A$ 的第 $i_1,\cdots ,i_r$ 行和第 $i_1,\cdots ,i_r$ 列交叉点上的元素组成的子式称为 $A$ 的主子式。若 $A$ 是对称阵或反对称阵且秩等于 $r$，求证：$A$ 必有一个 $r$ 阶主子式不等于零。

解答

证明 由对称性或反对称性，若 $A$ 的第 $i_1,\cdots ,i_r$ 行是 $A$ 的行向量的极大无关组，则它的第 $i_1,\cdots ,i_r$ 列也是 $A$ 的列向量的极大无关组，因此由例 3.86 可知，它们交叉点上的元素组成的 $r$ 阶主子式不等于零。