第 8 章解答题 11

依赖于

• 第 6 章解答题 3
• 例 2.26

被以下题目直接调用

• 第 8 章解答题 14

第 8 章解答题 11

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶亚正定矩阵，$c$ 是正实数，求证：

(1) $A+B,cA,A^{\prime },A^{-1},A^{\ast }$ 都是亚正定阵；

(2) 若 $C$ 是 $n$ 阶非异实矩阵，则 $C^{\prime }AC$ 是亚正定阵；

(3) 若 $B$ 是对称矩阵且 $A-B$ 是亚正定阵，则 $B^{-1}-A^{-1}$ 也是亚正定阵。

解答

(1) $A+B,cA,A^{\prime }$ 的亚正定性直接由定义验证即得。由第 6 章解答题 3 可知 $|A|>0$，从而 $A$ 可逆。 对任意的非零实列向量 $\alpha$，$A^{-1}\alpha \ne 0$，故由 $A^{\prime }$ 的亚正定性可得

$${\alpha }^{\prime }{A}^{-1}\alpha =(A^{-1}\alpha {)}^{\prime }{A}^{\prime }(A^{-1}\alpha )>0,$$

于是 $A^{-1}$ 是亚正定阵。注意到 $A^{\ast }=|A|\cdot A^{-1}$，故 $A^{\ast }$ 也是亚正定阵。 (2) 直接由定义验证即得。 (3) 由例 2.26 可知

$$B^{-1}-A^{-1}=(B+B(A-B{)}^{-1}B{)}^{-1},$$

再由 (1) 和 (2) 可得 $B^{-1}-A^{-1}$ 是亚正定阵。