例 8.72

依赖于

• 例 2.5
• 例 8.71
• 例 8.66

被以下题目直接调用

• 无

例 8.72

设 $A$ 为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，$S$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，求证：

$$(1)r(A+S)=r(A;S);(2)|A+S|>0\text{ 成立的充要条件是 }r(A;S)=n.$$

解答

证明 (1) 只要证明线性方程组

$$\left(\begin{array}{c}A\\ S\end{array}\right)x=0$$

与 $(A+S)x=0$ 同解即可。显然，

$$\left(\begin{array}{c}A\\ S\end{array}\right)x=0$$

的任一解都是 $(A+S)x=0$ 的解。反之，任取 $(A+S)x=0$ 的解 $x=x_0\in {\mathbb{R}}^n$，即 $(A+S)x_0=0$，此等式左乘 $x_0^{\prime }$，由例 2.5 可得

$$0=x_0^{\prime }(A+S)x_0=x_0^{\prime }A{x}_0+x_0^{\prime }S{x}_0=x_0^{\prime }A{x}_0,$$

再由例 8.71 可知 $A{x}_0=0$，从而 $S{x}_0=0$，于是 $x=x_0$ 也是

$$\left(\begin{array}{c}A\\ S\end{array}\right)x=0$$

的解。

(2) 由例 8.66 可知 $|A+S|\ge 0$，故 $|A+S|>0$ 当且仅当 $A+S$ 非异，由 (1) 可知这也当且仅当

$$r(A;S)=r(A+S)=n.$$

$\square$