例 2.5

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 2.30
• 例 8.58
• 例 8.72
• 例 9.10

例 2.5

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，求证：$A$ 是反对称阵的充要条件是对任意的 $n$ 维列向量 $\alpha$，有

$${\alpha }^{\prime }A\alpha =0.$$

解答

证明 若 $A$ 是反对称阵，则对任意的 $n$ 维列向量 $\alpha$，有 $({\alpha }^{\prime }A\alpha {)}^{\prime }=-{\alpha }^{\prime }A\alpha$。而 ${\alpha }^{\prime }A\alpha$ 是数，因此 $({\alpha }^{\prime }A\alpha {)}^{\prime }={\alpha }^{\prime }A\alpha$。比较上面两个式子便有 ${\alpha }^{\prime }A\alpha =0$。反之，若上式对任意的 $n$ 维列向量 $\alpha$ 成立，则 ${\alpha }^{\prime }{A}^{\prime }\alpha =0$，故 ${\alpha }^{\prime }(A+A^{\prime })\alpha =0$。因为矩阵 $A+A^{\prime }$ 是对称阵，故由上题可得 $A+A^{\prime }=O$，即 $A^{\prime }=-A$， $A$ 是反对称阵。$\square$