例 8.58

依赖于

• 例 2.5

被以下题目直接调用

• 例 8.67

例 8.58

设 $M$ 为 $n$ 阶实矩阵，若对任意的非零实列向量 $\alpha$，总有 ${\alpha }^{\prime }M\alpha >0$，则称 $M$ 是亚正定阵。证明下列 3 个结论等价：

$$(1)M\text{ 是亚正定阵};(2)M+M^{\prime }\text{ 是正定阵};$$ $$(3)M=A+S,\text{ 其中 }A\text{ 是正定实对称矩阵，}S\text{ 是实反对称矩阵}.$$

解答

证明 (1) $\Rightarrow$ (2)：将 ${\alpha }^{\prime }M\alpha >0$ 转置后可得 ${\alpha }^{\prime }{M}^{\prime }\alpha >0$，再将两式相加后可得

$${\alpha }^{\prime }(M+M^{\prime })\alpha >0$$

对任意的非零实列向量 $\alpha$ 都成立，因此 $M+M^{\prime }$ 是正定阵。

(2) $\Rightarrow$ (3)：令

$$A=\frac{1}{2}(M+M^{\prime })$$

为 $M$ 的对称化，

$$S=\frac{1}{2}(M-M^{\prime })$$

为 $M$ 的反对称化，则结论成立。

(3) $\Rightarrow$ (1)：由例 2.5 可知，对任意的非零实列向量 $\alpha$，总有

$${\alpha }^{\prime }M\alpha ={\alpha }^{\prime }A\alpha +{\alpha }^{\prime }S\alpha ={\alpha }^{\prime }A\alpha >0,$$

即 $M$ 为亚正定阵。$\square$