例 8.67

依赖于

• 例 8.58

被以下题目直接调用

• 无

例 8.67

设 $M$ 为 $n$ 阶实矩阵，若对任意的实列向量 $\alpha$，总有 ${\alpha }^{\prime }M\alpha \ge 0$，则称 $M$ 是亚半正定阵。证明下列 3 个结论等价：

$$(1)M\text{ 是亚半正定阵};(2)M+M^{\prime }\text{ 是半正定阵};$$ $$(3)M=A+S,\text{ 其中 }A\text{ 是半正定实对称矩阵，}S\text{ 是实反对称矩阵}.$$

解答

证明 与例 8.58 的证明完全类似，细节留给读者完成。$\square$