例 7.10

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例 7.9

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例 7.10

设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，其特征矩阵 $λ I_{n} - A$ 经过初等变换可化为对角矩阵 $diag {f_{1} (λ), f_{2} (λ), \dots, f_{n} (λ)}$ ，其中 $f_{i} (λ)$ 是 $K$ 上的首一多项式。求证：矩阵 $A$ 的初等因子组等于所有 $f_{i} (λ)$ 的准素因子组。

解答

证明对任意的 $i < j$ ，以下操作记为 $O (i, j)$ ：设 $d (λ) = (f_{i} (λ), f_{j} (λ))$ ， $m (λ) = [f_{i} (λ), f_{j} (λ)]$ 分别是 $f_{i} (λ)$ 和 $f_{j} (λ)$ 的最大公因式和最小公倍式，则用 $d (λ)$ 替代 $f_{i} (λ)$ ，用 $m (λ)$ 替代 $f_{j} (λ)$ 。我们先证明，操作 $O (i, j)$ 可通过 $λ$ -矩阵的初等变换来实现，并且前后两个对角矩阵，即

diag {f_{1} (λ), \dots, f_{i} (λ), \dots, f_{j} (λ), \dots, f_{n} (λ)}

与

diag {f_{1} (λ), \dots, d (λ), \dots, m (λ), \dots, f_{n} (λ)}

有相同的准素因子组。

由例 7.9 即知 $O (i, j)$ 是 $λ$ -矩阵的相抵变换。设 $f_{i} (λ), f_{j} (λ)$ 的公共因式分解为

f_{i} (λ) f_{j} (λ) = P_{1} (λ)^{e_{i 1}} P_{2} (λ)^{e_{i 2}} \dots P_{t} (λ)^{e_{i t}}, = P_{1} (λ)^{e_{j 1}} P_{2} (λ)^{e_{j 2}} \dots P_{t} (λ)^{e_{j t}},

其中 $P_{k} (λ)$ 为互异的首一不可约多项式， $e_{ik} \geq 0, e_{j k} \geq 0 (1 \leq k \leq t)$ ，令 $r_{k} = min {e_{ik}, e_{j k}}$ ， $s_{k} = max {e_{ik}, e_{j k}}$ ，则有

d (λ) = P_{1} (λ)^{r_{1}} P_{2} (λ)^{r_{2}} \dots P_{t} (λ)^{r_{t}}, m (λ) = P_{1} (λ)^{s_{1}} P_{2} (λ)^{s_{2}} \dots P_{t} (λ)^{s_{t}} .

显然 ${f_{i} (λ), f_{j} (λ)}$ 和 ${d (λ), m (λ)}$ 有相同的准素因子组，因此 $O (i, j)$ 操作前后的两个对角矩阵也有相同的准素因子组。

对对角矩阵 $diag {f_{1} (λ), f_{2} (λ), \dots, f_{n} (λ)}$ 依次实施操作 $O (1, j) (2 \leq j \leq n)$ ，则得到对角矩阵的第 $(1, 1)$ 元素的所有不可约因式的幂在主对角元素中都是最小的；然后依次操作 $O (2, j) (3 \leq j \leq n)$ ； $\dots$ ；最后操作 $O (n - 1, n)$ ，可得一个对角矩阵 $Λ = diag {d_{1} (λ), d_{2} (λ), \dots, d_{n} (λ)}$ 。由操作的性质可知， $Λ$ 满足 $d_{i} (λ) ∣ d_{i + 1} (λ) (1 \leq i \leq n - 1)$ ，因此 $Λ$ 就是矩阵 $A$ 的法式。又因为对角矩阵 $diag {f_{1} (λ), f_{2} (λ), \dots, f_{n} (λ)}$ 与法式有相同的准素因子组，故所有 $f_{i} (λ)$ 的准素因子组就是矩阵 $A$ 的初等因子组。 $□$

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