例 6.42

依赖于

• 例 6.38

被以下题目直接调用

• 例 6.43
• 例 9.124

例 6.42

设数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A_1,A_2,\cdots ,A_m$ 两两乘法可交换，且它们的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，求证：它们在 ${\mathbb{F}}^n$ 中至少有一个公共的特征向量。

解答

证明 对 $m$ 进行归纳，$m=2$ 时就是例 6.38。设矩阵个数小于 $m$ 时结论成立，现证 $m$ 个矩阵的情形。将所有的 $A_i$ 都看成是列向量空间 ${\mathbb{F}}^n$ 上的线性变换，任取 $A_1$ 的一个特征值 ${\lambda }_1\in \mathbb{F}$ 及其特征子空间 $V_1\subseteq {\mathbb{F}}^n$。注意到 $A_1{A}_i=A_i{A}_1$，故由例 6.38 可知，$V_1$ 是 $A_2,\cdots ,A_m$ 的不变子空间。将 $A_2,\cdots ,A_m$ 限制在 $V_1$ 上，它们仍然两两乘法可交换且特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，故由归纳假设可得 $A_2{|}_{V_1},\cdots ,A_m{|}_{V_1}$ 有公共的特征向量 $\alpha \in V_1$。注意到 $\alpha$ 也是 $A_1$ 的特征向量，于是 $\alpha$ 是 $A_1,A_2,\cdots ,A_m$ 的公共特征向量。$\square$