例 6.43

依赖于

• 例 6.40
• 例 6.42

被以下题目直接调用

• 无

例 6.43

设数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A_1,A_2,\cdots ,A_m$ 两两乘法可交换，且它们的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，求证：它们在 $\mathbb{F}$ 上可同时上三角化，即存在 $\mathbb{F}$ 上的可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}{A}_{i}P(1\le i\le m)$ 都是上三角矩阵。

解答

证明 完全类似于例 6.40 的证明，其中利用例 6.42 得到 $A_1,A_2,\cdots ,A_m$ 的公共特征向量，请读者自行补充相关的细节。$\square$