例 6.40

依赖于

• 例 6.38

被以下题目直接调用

• 例 6.43
• 例 6.45
• 第 6 章解答题 8

例 6.40

设 $A,B$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵，满足：$AB=BA$ 且 $A,B$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，求证：$A,B$ 在 $\mathbb{F}$ 上可同时上三角化，即存在 $\mathbb{F}$ 上的可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 都是上三角矩阵。

解答

证明 对阶数进行归纳。当 $n=1$ 时结论显然成立，设对 $n-1$ 阶矩阵结论成立，现对 $n$ 阶矩阵进行证明。因为 $AB=BA$ 且 $A,B$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，故由例 6.38 可知，$A,B$ 有公共的特征向量 $e_1\in {\mathbb{F}}^n$，不妨设

$$A{e}_1={\lambda }_1{e}_1,B{e}_1={\mu }_1{e}_1,$$

其中 ${\lambda }_1,{\mu }_1\in \mathbb{F}$ 分别是 $A,B$ 的特征值。由基扩张定理，可将 $e_1$ 扩张为 ${\mathbb{F}}^n$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$。令 $P=(e_1,e_2,\cdots ,e_n)$，则 $P$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵，且有

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ O& A_1\end{array}\right),P^{-1}BP=\left(\begin{array}{cc}{\mu }_1& \ast \\ O& B_1\end{array}\right),$$

其中 $A_1,B_1$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n-1$ 阶矩阵。从 $AB=BA$ 不难推出 $A_1{B}_1=B_1{A}_1$，又容易验证 $A_1,B_1$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中，故由归纳假设，存在 $\mathbb{F}$ 上的 $n-1$ 阶可逆矩阵 $Q$，使得 $Q^{-1}{A}_{1}Q$ 和 $Q^{-1}{B}_{1}Q$ 都是上三角矩阵。令

$$R=P\left(\begin{array}{cc}1& O\\ O& Q\end{array}\right),$$

则 $R$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵，且

$$\begin{array}{rl}{R}^{-1}AR& ={\left(\begin{array}{cc}1& O\\ O& Q\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ O& A_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& O\\ O& Q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ O& Q^{-1}{A}_{1}Q\end{array}\right),\\ R^{-1}BR& ={\left(\begin{array}{cc}1& O\\ O& Q\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cc}{\mu }_1& \ast \\ O& B_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& O\\ O& Q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mu }_1& \ast \\ O& Q^{-1}{B}_{1}Q\end{array}\right)\end{array}$$

都是上三角矩阵。$\square$