例 6.45

依赖于

• 例 6.40

被以下题目直接调用

• 无

例 6.45

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵且 $AB=BA$。若 $A$ 是幂零矩阵，求证：

$$|A+B|=|B|.$$

解答

证法 1 由例 6.40 可知，$A,B$ 可同时上三角化，即存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 都是上三角矩阵。因为上三角矩阵的主对角元是矩阵的特征值，而幂零矩阵的特征值全为零，所以

$$|P^{-1}AP+P^{-1}BP|=|P^{-1}BP|,$$

即有 $|A+B|=|B|$。

证法 2 先假设 $B$ 是可逆矩阵，则

$$|A+B|=|I_n+A{B}^{-1}||B|,$$

只要证明 $|I_n+A{B}^{-1}|=1$ 即可。由 $AB=BA$ 可知 $A{B}^{-1}=B^{-1}A$，再由 $A$ 是幂零矩阵容易验证 $A{B}^{-1}$ 也为幂零矩阵，从而其特征值全为零。因此 $I_n+A{B}^{-1}$ 的特征值全为 $1$，故 $|I_n+A{B}^{-1}|=1$。

对于一般的矩阵 $B$，可取到一列有理数 $t_k\to 0$，使得 $t_k{I}_n+B$ 是可逆矩阵。由可逆情形的证明可得

$$|A+t_k{I}_n+B|=|t_k{I}_n+B|.$$

注意到上式两边都是 $t_k$ 的多项式，从而关于 $t_k$ 连续。将上式两边同时取极限，令 $t_k\to 0$，即得结论。$\square$