例 6.13

依赖于

• 例 2.6

被以下题目直接调用

• 例 6.27
• 例 6.31
• 例 6.104

例 6.13

求证：$n$ 阶矩阵 $A$ 为幂零矩阵的充要条件是 $A$ 的特征值全为零。

解答

证明 若 $A$ 为幂零矩阵，即存在正整数 $k$，使得 $A^k=O$，则 $A$ 的任一特征值 ${\lambda }_0$ 也适合 $x^k$，于是 ${\lambda }_0=0$。反之，若 $A$ 的特征值全为零，则存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$ 为上三角矩阵且主对角元素全为零。 由例 2.6 可知 $B^n=O$，于是

$$A^n=(PB{P}^{-1}{)}^n=P{B}^n{P}^{-1}=O,$$

即 $A$ 为幂零矩阵。也可以利用 Cayley-Hamilton 定理来证明，由于 $A$ 的特征值全为零，故其特征多项式为 ${\lambda }^n$， 从而 $A^n=O$。$\square$