例 6.31

依赖于

• 例 5.64
• 例 6.13

被以下题目直接调用

• 例 6.32
• 第 6 章解答题 7

例 6.31

求证：$n$ 阶矩阵 $A$ 是幂零矩阵的充要条件是 $\mathrm{tr}(A^k)=0(1\le k\le n)$。

解答

证明 设 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$。若 $A$ 是幂零矩阵，则 $A$ 的特征值全为零， 从而 $\mathrm{tr}(A^k)=s_k=0(k\ge 1)$。若 $s_k=\mathrm{tr}(A^k)=0(1\le k\le n)$， 则由 Newton 公式或直接利用例 5.64 可计算出 ${\sigma }_r=0(1\le r\le n)$，于是 $A$ 的特征多项式为 ${\lambda }^n$， 从而 $A$ 的特征值全为零，再由例 6.13 可知 $A$ 为幂零矩阵。$\square$