例 5.64
依赖于
被以下题目直接调用
设 1≤k≤n，求证：
σk=k!1s1s2⋮sk−1sk1s1⋮sk−2sk−102⋮sk−3sk−2⋯⋯⋯⋯00⋮k−1s1,
sk=σ12σ2⋮(k−1)σk−1kσk1σ1⋮σk−2σk−101⋮σk−3σk−2⋯⋯⋯⋯00⋮1σ1.
解答
证法 1 由 Newton 公式可得下列线性方程组（将 σi 看成是未知数）：
⎩⎨⎧σ1=s1,s1σ1−2σ2=s2,s2σ1−s1σ2+3σ3=s3,⋯⋯⋯,sk−2σ1−sk−3σ2+⋯+(−1)k−2(k−1)σk−1=sk−1,sk−1σ1−sk−2σ2+⋯+(−1)k−1kσk=sk.
该方程组的系数行列式为
∣A∣=1s1s2⋮sk−2sk−10−2−s1⋮−sk−3−sk−2003⋮sk−4sk−3⋯⋯⋯⋯⋯000⋮0(−1)k−1k=(−1)21k(k−1)k!.
又
∣Ak∣=1s1s2⋮sk−2sk−10−2−s1⋮−sk−3−sk−2003⋮sk−4sk−3⋯⋯⋯⋯⋯s1s2s3⋮sk−1sk,
将 ∣Ak∣ 的最后一列经 k−1 次相邻对换后换到第一列，再用 (−1)i−2 依次乘以第 i (3≤i≤k) 列，得到
∣Ak∣=(−1)k−1+21(k−1)(k−2)s1s2s3⋮sk−1sk1s1s2⋮sk−2sk−102s1⋮sk−3sk−2003⋮sk−4sk−3⋯⋯⋯⋯⋯000⋮k−1s1.
于是由 Cramer 法则可得
σk=∣A∣∣Ak∣=k!1s1s2⋮sk−1sk1s1⋮sk−2sk−102⋮sk−3sk−2⋯⋯⋯⋯00⋮k−1s1.
另一结论类似可得。
证法 2 将 σk 的表达式中的行列式的第 i (2≤i≤k) 列乘以 (−1)i−1σi−1 都加到第一列上，由 Newton 公式可知，所得行列式的第一列除最后一项外都为零，再按第一列展开就可得到第一个结论。将 sk 的表达式中的行列式的第 i (2≤i≤k) 列乘以 (−1)i−1si−1 都加到第一列上，由 Newton 公式可知，所得行列式的第一列除最后一项外都为零，再按第一列展开就可得到第二个结论。□
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