例 6.30

依赖于

• 例 5.64

被以下题目直接调用

• 无

例 6.30

设 $4$ 阶方阵 $A$ 满足：$\mathrm{tr}(A^k)=k(1\le k\le 4)$，试求 $A$ 的行列式。

解答

证明 题目条件即为 $s_k=k(1\le k\le 4)$，要求 $|A|={\sigma }_4$。根据 Newton 公式

$$s_k-s_{k-1}{\sigma }_1+\cdots +(-1{)}^{k}k{\sigma }_k=0(1\le k\le 4)$$

可依次算出

$${\sigma }_1=1,{\sigma }_2=-\frac{1}{2},{\sigma }_3=\frac{1}{6},{\sigma }_4=\frac{1}{24},$$

故 $|A|=\frac{1}{24}$。也可以直接利用例 5.64 来计算 ${\sigma }_4$。$\square$