例 6.32

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• 例 6.31

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• 第 6 章解答题 8

例 6.32

设 $A,B,C$ 是 $n$ 阶矩阵，其中 $C=AB-BA$。若它们满足条件 $AC=CA,BC=CB$，求证：$C$ 的特征值全为零。又若将条件减弱为 $ABC=CAB,BAC=CBA$，则上述结论不再成立。

解答

证明 由 $AC=CA$ 可知，对任意的正整数 $k$，

$$C^k=C^{k-1}AB-C^{k-1}BA=A(C^{k-1}B)-(C^{k-1}B)A.$$

由迹的线性和交换性可得 $\mathrm{tr}(C^k)=0(k\ge 1)$，再由例 6.31 可知 $C$ 为零矩阵，从而 $C$ 的特征值全为零。

如将条件减弱为如题所述，则结论不再成立，可参考下面的反例：

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

由计算可得 $C=AB-BA,ABC=CAB,CBA=BAC$，但 $C$ 的特征值为 $1$ 和 $-1$。$\square$